Consider a water tank shown in the figure. It has one wall at $x=L$ and can be taken to be very wide in the z direction. When filled with a liquid of surface tension S and density $\rho$, the liquid surface makes angle $\theta_{0}$ $(\theta_{0}\ll1)$ with the x-axis at $x=L.$ If $y(x)$ is the height of the surface then the equation for $y(x)$ is:

Correct Answer: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\rho g}{S}y$

Step I: The excess pressure on the concave side of the liquid surface is given by $\Delta P = \frac{S}{R}$, where $R$ is the radius of curvature.
Step II: For a slightly curved surface, $\frac{1}{R} \approx \frac{d^2y}{dx^2}$. So, $\Delta P = S \frac{d^2y}{dx^2}$.
Step III: This excess pressure balances the hydrostatic pressure at height $y$, which is $\Delta P = \rho g y$.
Step IV: Equating both, we get $\rho g y = S \frac{d^2y}{dx^2}$, which gives $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\rho g}{S} y$.

सही उत्तर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\rho g}{S}y$

Step I: तरल सतह के अवतल पक्ष पर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{S}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ वक्रता त्रिज्या है।
Step II: थोड़ी घुमावदार सतह के लिए, $\frac{1}{R} \approx \frac{d^2y}{dx^2}$। इसलिए, $\Delta P = S \frac{d^2y}{dx^2}$।
Step III: यह अतिरिक्त दबाव ऊंचाई $y$ पर हाइड्रोस्टैटिक दबाव को संतुलित करता है, जो $\Delta P = \rho g y$ है।
Step IV: दोनों की तुलना करने पर, हमें $\rho g y = S \frac{d^2y}{dx^2}$ मिलता है, जो $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\rho g}{S} y$ देता है।