A bob of heavy mass m is suspended by a light string of length l. The bob is given a horizontal velocity $v_{0}$ as show

Correct Answer: $(\frac{\sin~\theta}{2+3~\sin~\theta})^{\frac{1}{2}}$

Step I: At point P (angle $\theta$ above horizontal), the component of gravity along the string is $mg \sin \theta$. Since tension $T = 0$ (string slacks), the centripetal force is provided solely by this component: $\frac{mv^2}{l} = mg \sin \theta \implies v^2 = gl \sin \theta$.
Step II: The height gained by the bob from the lowest point to point P is $h = l + l \sin \theta = l(1 + \sin \theta)$.
Step III: Apply Conservation of Mechanical Energy from the bottom to point P: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$.
Step IV: Substitute $v^2$ and $h$: $\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}(gl \sin \theta) + gl(1 + \sin \theta) \implies v_0^2 = gl \sin \theta + 2gl + 2gl \sin \theta = gl(2 + 3 \sin \theta)$.
Step V: Find the ratio $\frac{v}{v_0}$: $(\frac{v}{v_0})^2 = \frac{gl \sin \theta}{gl(2 + 3 \sin \theta)} = \frac{\sin \theta}{2 + 3 \sin \theta}$. Thus, $\frac{v}{v_0} = (\frac{\sin \theta}{2 + 3 \sin \theta})^{1/2}$.

सही उत्तर: $(\frac{\sin~\theta}{2+3~\sin~\theta})^{\frac{1}{2}}$

Step I: बिंदु P (क्षैतिज के ऊपर कोण $\theta$) पर, धागे के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ है। चूँकि तनाव $T = 0$ (धागा ढीला होता है), अभिकेन्द्रीय बल पूरी तरह से इस घटक द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{l} = mg \sin \theta \implies v^2 = gl \sin \theta$।
Step II: न्यूनतम बिंदु से बिंदु P तक गोलक द्वारा प्राप्त ऊंचाई $h = l + l \sin \theta = l(1 + \sin \theta)$ है।
Step III: तल से बिंदु P तक यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण (Conservation of Mechanical Energy) लागू करें: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$।
Step IV: $v^2$ और $h$ को प्रतिस्थापित करें: $\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}(gl \sin \theta) + gl(1 + \sin \theta) \implies v_0^2 = gl \sin \theta + 2gl + 2gl \sin \theta = gl(2 + 3 \sin \theta)$।
Step V: अनुपात $\frac{v}{v_0}$ ज्ञात करें: $(\frac{v}{v_0})^2 = \frac{gl \sin \theta}{gl(2 + 3 \sin \theta)} = \frac{\sin \theta}{2 + 3 \sin \theta}$। इस प्रकार, $\frac{v}{v_0} = (\frac{\sin \theta}{2 + 3 \sin \theta})^{1/2}$।