In some appropriate units, time (t) and position (x) relation…

Correct Answer: $-\frac{2}{(2x+1)^{3}}$

Step I: Start with the given equation: $t = x^2 + x$.
Step II: Differentiate both sides with respect to time $t$: $\frac{dt}{dt} = \frac{d}{dt}(x^2 + x) \implies 1 = 2x \frac{dx}{dt} + \frac{dx}{dt}$.
Step III: Factor out velocity $v = \frac{dx}{dt}$: $1 = v(2x + 1)$. So, velocity $v = (2x + 1)^{-1}$.
Step IV: Differentiate velocity $v$ with respect to time $t$ to find acceleration $a = \frac{dv}{dt}$. Apply chain rule: $a = \frac{d}{dt} [(2x + 1)^{-1}] = -1(2x + 1)^{-2} \cdot \frac{d}{dt}(2x + 1)$.
Step V: $a = -1(2x + 1)^{-2} \cdot 2 \frac{dx}{dt} = -2(2x + 1)^{-2} \cdot v$.
Step VI: Substitute $v = (2x + 1)^{-1}$ back into the equation: $a = -2(2x + 1)^{-2} \cdot (2x + 1)^{-1} = -\frac{2}{(2x + 1)^3}$.

सही उत्तर: $-\frac{2}{(2x+1)^{3}}$

Step I: दिए गए समीकरण से शुरू करें: $t = x^2 + x$।
Step II: दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{dt}{dt} = \frac{d}{dt}(x^2 + x) \implies 1 = 2x \frac{dx}{dt} + \frac{dx}{dt}$।
Step III: वेग $v = \frac{dx}{dt}$ को अलग करें: $1 = v(2x + 1)$। इसलिए, वेग $v = (2x + 1)^{-1}$।
Step IV: त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ ज्ञात करने के लिए समय $t$ के सापेक्ष वेग $v$ का अवकलन करें। श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करें: $a = \frac{d}{dt} [(2x + 1)^{-1}] = -1(2x + 1)^{-2} \cdot \frac{d}{dt}(2x + 1)$।
Step V: $a = -1(2x + 1)^{-2} \cdot 2 \frac{dx}{dt} = -2(2x + 1)^{-2} \cdot v$।
Step VI: समीकरण में $v = (2x + 1)^{-1}$ को वापस प्रतिस्थापित करें: $a = -2(2x + 1)^{-2} \cdot (2x + 1)^{-1} = -\frac{2}{(2x + 1)^3}$।