A model for quantized motion of an electron in a uniform magnetic field…
Question & Answer (English)
- $\frac{he}{\pi m}$
- $\frac{he}{2\pi m}$ — Correct Answer
- $\frac{heB}{\pi m}$
- $\frac{heB}{2\pi m}$
Correct Answer: $\frac{he}{2\pi m}$
Step I: Given the flux quantization condition for the lowest energy state ($n=1$): $\Phi = B \cdot \pi r^2 = \frac{h}{e}$. This implies $r^2 = \frac{h}{\pi e B}$.
Step II: The expression for the magnetic moment of a circulating electron is $M = I \cdot A = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \cdot \pi r^2 = \frac{evr}{2}$.
Step III: From the force balance equation $evB = \frac{mv^2}{r}$, we get the velocity $v = \frac{eBr}{m}$.
Step IV: Substitute $v$ into the magnetic moment formula: $M = \frac{e}{2} \cdot \left(\frac{eBr}{m}\right) \cdot r = \frac{e^2 B r^2}{2m}$.
Step V: Substitute $r^2$ from Step I into this equation: $M = \frac{e^2 B}{2m} \cdot \left(\frac{h}{\pi e B}\right) = \frac{eh}{2\pi m}$.
प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)
- $\frac{he}{\pi m}$
- $\frac{he}{2\pi m}$ — सही उत्तर
- $\frac{heB}{\pi m}$
- $\frac{heB}{2\pi m}$
सही उत्तर: $\frac{he}{2\pi m}$
Step I: निम्नतम ऊर्जा अवस्था ($n=1$) के लिए फ्लक्स परिमाणीकरण (quantization) की स्थिति दी गई है: $\Phi = B \cdot \pi r^2 = \frac{h}{e}$। इसका तात्पर्य है कि $r^2 = \frac{h}{\pi e B}$।
Step II: परिसंचारी इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण का व्यंजक $M = I \cdot A = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \cdot \pi r^2 = \frac{evr}{2}$ है।
Step III: बल संतुलन समीकरण $evB = \frac{mv^2}{r}$ से, हमें वेग $v = \frac{eBr}{m}$ प्राप्त होता है।
Step IV: $v$ को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करें: $M = \frac{e}{2} \cdot \left(\frac{eBr}{m}\right) \cdot r = \frac{e^2 B r^2}{2m}$।
Step V: Step I से $r^2$ को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $M = \frac{e^2 B}{2m} \cdot \left(\frac{h}{\pi e B}\right) = \frac{eh}{2\pi m}$।
