The plates of a parallel plate capacitor are separated by d…

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The plates of a parallel plate capacitor are separated by d. Two slabs of different dielectric constant $K_{1}$ and $K_{2}$ with thickness $\frac{3}{8}d$ and $\frac{d}{2}$ respectively are inserted in the capacitor. Due to this, the capacitance becomes two times larger than when there is nothing between the plates.

If $K_{1}=1.25~K_{2}$, the value of $K_{1}$ is:

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Question & Answer (English)

If $K_{1}=1.25~K_{2}$, the value of $K_{1}$ is:

2.66 — Correct Answer
2.33
1.60
1.33

Explanation:

Root Concept / Basics: Capacitors in series with multiple dielectrics. The equivalent capacitance of a parallel plate capacitor with multiple layers of dielectrics is given by $\frac{1}{C_{eq}} = \sum \frac{t_i}{\epsilon_0 K_i A}$. Equivalently, $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{\sum \frac{t_i}{K_i}}$. Any remaining gap is considered filled with air ($K=1$).

Correct Answer: 2.66

Step I: Determine the thicknesses. The two slabs have thicknesses $t_1 = \frac{3}{8}d$ and $t_2 = \frac{d}{2}$. The remaining thickness (air gap) is $t_3 = d - (\frac{3}{8}d + \frac{d}{2}) = d - \frac{7}{8}d = \frac{1}{8}d$.
Step II: Use the formula for equivalent capacitance: $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2} + \frac{t_3}{1}}$. We are given $C_{eq} = 2C_0 = 2\frac{\epsilon_0 A}{d}$.
Step III: Equate and simplify: $\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2} + \frac{t_3}{1} = \frac{d}{2}$. Substituting the thicknesses gives $\frac{3d/8}{K_1} + \frac{d/2}{K_2} + \frac{d/8}{1} = \frac{d}{2}$.
Step IV: Cancel $d$ and multiply by 8 to clear fractions: $\frac{3}{K_1} + \frac{4}{K_2} + 1 = 4 \implies \frac{3}{K_1} + \frac{4}{K_2} = 3$.
Step V: Use the relation $K_1 = 1.25 K_2 = \frac{5}{4}K_2 \implies K_2 = 0.8 K_1$. Substitute this into the equation: $\frac{3}{K_1} + \frac{4}{0.8 K_1} = 3 \implies \frac{3}{K_1} + \frac{5}{K_1} = 3$.
Step VI: Solve for $K_1$: $\frac{8}{K_1} = 3 \implies K_1 = \frac{8}{3} \approx 2.66$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

एक समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटें d दूरी से अलग हैं। अलग-अलग परावैद्युत नियतांक (dielectric constant) $K_{1}$ और $K_{2}$ वाले दो स्लैब जिनकी मोटाई क्रमशः $\frac{3}{8}d$ और $\frac{d}{2}$ है, संधारित्र में डाले जाते हैं। इसके कारण, धारिता (capacitance) प्लेटों के बीच कुछ नहीं होने की तुलना में दो गुना अधिक हो जाती है।

यदि $K_{1}=1.25~K_{2}$ है, तो $K_{1}$ का मान है:

2.66 — सही उत्तर
2.33
1.60
1.33

स्पष्टीकरण:

मूल अवधारणा (Root Concept): कई परावैद्युत के साथ श्रृंखला में संधारित्र। परावैद्युत की कई परतों वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की समतुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq}} = \sum \frac{t_i}{\epsilon_0 K_i A}$ द्वारा दी जाती है। समान रूप से, $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{\sum \frac{t_i}{K_i}}$। किसी भी शेष अंतराल को हवा ($K=1$) से भरा माना जाता है।

सही उत्तर: 2.66

Step I: मोटाई निर्धारित करें। दोनों स्लैब की मोटाई $t_1 = \frac{3}{8}d$ और $t_2 = \frac{d}{2}$ है। शेष मोटाई (वायु अंतराल) $t_3 = d - (\frac{3}{8}d + \frac{d}{2}) = d - \frac{7}{8}d = \frac{1}{8}d$ है।
Step II: समतुल्य धारिता के सूत्र का उपयोग करें: $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2} + \frac{t_3}{1}}$। हमें दिया गया है $C_{eq} = 2C_0 = 2\frac{\epsilon_0 A}{d}$।
Step III: समान करें और सरल करें: $\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2} + \frac{t_3}{1} = \frac{d}{2}$। मोटाई प्रतिस्थापित करने पर $\frac{3d/8}{K_1} + \frac{d/2}{K_2} + \frac{d/8}{1} = \frac{d}{2}$ प्राप्त होता है।
Step IV: $d$ को रद्द करें और भिन्नों को हटाने के लिए 8 से गुणा करें: $\frac{3}{K_1} + \frac{4}{K_2} + 1 = 4 \implies \frac{3}{K_1} + \frac{4}{K_2} = 3$।
Step V: $K_1 = 1.25 K_2 = \frac{5}{4}K_2 \implies K_2 = 0.8 K_1$ संबंध का उपयोग करें। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $\frac{3}{K_1} + \frac{4}{0.8 K_1} = 3 \implies \frac{3}{K_1} + \frac{5}{K_1} = 3$।
Step VI: $K_1$ के लिए हल करें: $\frac{8}{K_1} = 3 \implies K_1 = \frac{8}{3} \approx 2.66$।

Question & Answer (English)

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

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