A particle of mass m is moving around the origin with a constant force…
Question & Answer (English)
- $r\propto n^{1/3}; v\propto n^{1/3}$
- $r\propto n^{1/3}; v\propto n^{2/3}$
- $r\propto n^{2/3}; v\propto n^{1/3}$ — Correct Answer
- $r\propto n^{4/3}; v\propto n^{-1/3}$
Correct Answer: $r\propto n^{2/3}; v\propto n^{1/3}$
Step I: The constant force $F$ provides the centripetal force. So, $F = \frac{mv^2}{r}$. From this, we can write $v = \sqrt{\frac{Fr}{m}}$. Thus, $v \propto r^{1/2}$.
Step II: Use Bohr's quantization condition for angular momentum: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$. This gives $vr \propto n$.
Step III: Substitute the dependency of $v$ ($v \propto r^{1/2}$) into the angular momentum relation: $(r^{1/2}) \cdot r \propto n$.
Step IV: Simplify to find the dependency of $r$ on $n$: $r^{3/2} \propto n \implies r \propto n^{2/3}$.
Step V: Now find the dependency of $v$ on $n$ by substituting $r \propto n^{2/3}$ back into $v \propto r^{1/2}$: $v \propto (n^{2/3})^{1/2} = n^{1/3}$.
Step VI: Therefore, $r \propto n^{2/3}$ and $v \propto n^{1/3}$.
प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)
- $r\propto n^{1/3}; v\propto n^{1/3}$
- $r\propto n^{1/3}; v\propto n^{2/3}$
- $r\propto n^{2/3}; v\propto n^{1/3}$ — सही उत्तर
- $r\propto n^{4/3}; v\propto n^{-1/3}$
सही उत्तर: $r\propto n^{2/3}; v\propto n^{1/3}$
Step I: निरंतर बल $F$ अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है। अतः, $F = \frac{mv^2}{r}$। इससे हम $v = \sqrt{\frac{Fr}{m}}$ लिख सकते हैं। इस प्रकार, $v \propto r^{1/2}$।
Step II: कोणीय संवेग के लिए बोहर की परिमाणीकरण स्थिति का उपयोग करें: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$। इससे $vr \propto n$ प्राप्त होता है।
Step III: कोणीय संवेग संबंध में $v$ ($v \propto r^{1/2}$) की निर्भरता को प्रतिस्थापित करें: $(r^{1/2}) \cdot r \propto n$।
Step IV: $n$ पर $r$ की निर्भरता ज्ञात करने के लिए सरल करें: $r^{3/2} \propto n \implies r \propto n^{2/3}$।
Step V: अब $r \propto n^{2/3}$ को वापस $v \propto r^{1/2}$ में प्रतिस्थापित करके $n$ पर $v$ की निर्भरता ज्ञात करें: $v \propto (n^{2/3})^{1/2} = n^{1/3}$।
Step VI: इसलिए, $r \propto n^{2/3}$ और $v \propto n^{1/3}$।
