The intensity of transmitted light when a polaroid sheet, placed between…

Correct Answer: $\frac{I_{0}}{8}$

Step I: Let the three polaroids be $P_1$, $P_2$, and $P_3$. $P_1$ and $P_3$ are crossed, meaning the angle between their axes is $90^{\circ}$. Assume $P_1$ is at $0^{\circ}$ and $P_3$ is at $90^{\circ}$.
Step II: $P_2$ is placed between them at an angle $\theta = 22.5^{\circ}$ relative to $P_1$.
Step III: The light exiting $P_1$ has an intensity $I_0$.
Step IV: Apply Malus's law for light passing from $P_1$ through $P_2$. The intensity $I_2 = I_0 \cos^2(22.5^{\circ})$.
Step V: The angle between $P_2$ and $P_3$ is $90^{\circ} - 22.5^{\circ}$. Apply Malus's law again for light passing from $P_2$ through $P_3$: $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - 22.5^{\circ}) = I_2 \sin^2(22.5^{\circ})$.
Step VI: Substitute $I_2$: $I_3 = I_0 \cos^2(22.5^{\circ}) \sin^2(22.5^{\circ})$.
Step VII: Use the trigonometric identity $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$, which implies $\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$.
Step VIII: Here $\theta = 22.5^{\circ}$, so $2\theta = 45^{\circ}$. $I_3 = I_0 \frac{\sin^2(45^{\circ})}{4}$.
Step IX: Since $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin^2(45^{\circ}) = \frac{1}{2}$. Thus, $I_3 = I_0 \frac{1/2}{4} = \frac{I_0}{8}$.

सही उत्तर: $\frac{I_{0}}{8}$

Step I: मान लीजिए कि तीन पोलेरॉइड $P_1$, $P_2$ और $P_3$ हैं। $P_1$ और $P_3$ क्रॉस किए गए हैं, जिसका अर्थ है कि उनके अक्षों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है। मान लें कि $P_1$, $0^{\circ}$ पर है और $P_3$, $90^{\circ}$ पर है।
Step II: $P_2$ को उनके बीच $P_1$ के सापेक्ष $\theta = 22.5^{\circ}$ के कोण पर रखा गया है।
Step III: $P_1$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
Step IV: $P_1$ से $P_2$ से गुजरने वाले प्रकाश के लिए मालस का नियम लागू करें। तीव्रता $I_2 = I_0 \cos^2(22.5^{\circ})$।
Step V: $P_2$ और $P_3$ के बीच का कोण $90^{\circ} - 22.5^{\circ}$ है। $P_2$ से $P_3$ से गुजरने वाले प्रकाश के लिए फिर से मालस का नियम लागू करें: $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - 22.5^{\circ}) = I_2 \sin^2(22.5^{\circ})$।
Step VI: $I_2$ को प्रतिस्थापित करें: $I_3 = I_0 \cos^2(22.5^{\circ}) \sin^2(22.5^{\circ})$।
Step VII: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ का उपयोग करें, जिसका अर्थ है $\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$।
Step VIII: यहाँ $\theta = 22.5^{\circ}$ है, इसलिए $2\theta = 45^{\circ}$ है। $I_3 = I_0 \frac{\sin^2(45^{\circ})}{4}$।
Step IX: चूँकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin^2(45^{\circ}) = \frac{1}{2}$ है। इस प्रकार, $I_3 = I_0 \frac{1/2}{4} = \frac{I_0}{8}$।