A pipe open at both ends has a fundamental frequency f in air…

Correct Answer: f

Step I: Write the fundamental frequency $f$ for the initial open pipe of length $L$: $f = \frac{v}{2L}$.
Step II: The pipe is dipped vertically in water to half its length. The water surface acts as a rigid boundary, closing one end of the pipe.
Step III: The new pipe is a "closed pipe" (open at one end, closed at the other).
Step IV: The length of the air column in this new closed pipe is $L_{new} = \frac{L}{2}$.
Step V: Write the formula for the fundamental frequency of this new closed pipe: $f' = \frac{v}{4 L_{new}}$.
Step VI: Substitute $L_{new} = \frac{L}{2}$ into the formula: $f' = \frac{v}{4 (L/2)} = \frac{v}{2L}$.
Step VII: Compare $f'$ with the original frequency $f$: $f' = \frac{v}{2L} = f$. Therefore, the new fundamental frequency remains equal to $f$.

सही उत्तर: f

Step I: लंबाई $L$ वाले प्रारंभिक खुले पाइप के लिए मूल आवृत्ति $f$ लिखें: $f = \frac{v}{2L}$।
Step II: पाइप को पानी में लंबवत रूप से उसकी आधी लंबाई तक डुबोया जाता है। पानी की सतह एक कठोर सीमा के रूप में कार्य करती है, जो पाइप के एक सिरे को बंद कर देती है।
Step III: नया पाइप एक "बंद पाइप" है (एक सिरे पर खुला, दूसरे पर बंद)।
Step IV: इस नए बंद पाइप में वायु स्तंभ की लंबाई $L_{new} = \frac{L}{2}$ है।
Step V: इस नए बंद पाइप की मूल आवृत्ति का सूत्र लिखें: $f' = \frac{v}{4 L_{new}}$।
Step VI: सूत्र में $L_{new} = \frac{L}{2}$ प्रतिस्थापित करें: $f' = \frac{v}{4 (L/2)} = \frac{v}{2L}$।
Step VII: मूल आवृत्ति $f$ के साथ $f'$ की तुलना करें: $f' = \frac{v}{2L} = f$। इसलिए, नई मूल आवृत्ति $f$ के बराबर रहती है।