A ball of mass 0.5 kg is dropped from a height of 40 m…

Question
A ball of mass 0.5 kg is dropped from a height of 40 m. The ball hits the ground and rises to a height of 10 m. The impulse imparted to the ball during its collision with the ground is (Take $g=9.8~m/s^{2})$
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Question & Answer (English)

A ball of mass 0.5 kg is dropped from a height of 40 m. The ball hits the ground and rises to a height of 10 m. The impulse imparted to the ball during its collision with the ground is (Take $g=9.8~m/s^{2})$
  1. 21 Ns — Correct Answer
  2. 7 Ns
  3. 84 Ns
Explanation:
Root Concept / Basics: Impulse-Momentum Theorem. Impulse $J$ is equal to the change in momentum $\Delta p = m(v_f - v_i)$. Velocity is a vector, so direction must be taken into account (e.g., downward is negative, upward is positive). Velocity from a height $h$ is $v = \sqrt{2gh}$.

Correct Answer: 21 Ns

Step I: Calculate the downward velocity $v_1$ just before hitting the ground: $v_1 = -\sqrt{2gh_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 40} = -\sqrt{784} = -28~m/s$ (taking upward as positive).
Step II: Calculate the upward velocity $v_2$ just after rebounding from the ground: $v_2 = +\sqrt{2gh_2} = +\sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = +\sqrt{196} = +14~m/s$.
Step III: Apply the impulse formula: $J = \Delta p = m(v_2 - v_1)$.
Step IV: Substitute the values: $J = 0.5 \times (14 - (-28)) = 0.5 \times (14 + 28) = 0.5 \times 42 = 21~Ns$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

0.5 kg द्रव्यमान की एक गेंद 40 m की ऊंचाई से गिराई जाती है। गेंद जमीन से टकराती है और 10 m की ऊंचाई तक उठती है। जमीन के साथ टकराव के दौरान गेंद को दिया गया आवेग है (मान लें $g=9.8~m/s^{2}$)
  1. 21 Ns — सही उत्तर
  2. 7 Ns
  3. 84 Ns
स्पष्टीकरण:
मूल अवधारणा (Root Concept): आवेग-संवेग प्रमेय (Impulse-Momentum Theorem)। आवेग $J$ संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_f - v_i)$ के बराबर है। वेग एक सदिश राशि है, इसलिए दिशा को ध्यान में रखा जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, नीचे की ओर ऋणात्मक है, ऊपर की ओर धनात्मक है)। $h$ ऊँचाई से वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।

सही उत्तर: 21 Ns

Step I: जमीन से टकराने से ठीक पहले नीचे की ओर वेग $v_1$ की गणना करें: $v_1 = -\sqrt{2gh_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 40} = -\sqrt{784} = -28~m/s$ (ऊपर की ओर धनात्मक मानते हुए)।
Step II: जमीन से उछलने के ठीक बाद ऊपर की ओर वेग $v_2$ की गणना करें: $v_2 = +\sqrt{2gh_2} = +\sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = +\sqrt{196} = +14~m/s$।
Step III: आवेग सूत्र लागू करें: $J = \Delta p = m(v_2 - v_1)$।
Step IV: मानों को प्रतिस्थापित करें: $J = 0.5 \times (14 - (-28)) = 0.5 \times (14 + 28) = 0.5 \times 42 = 21~Ns$।

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