A balloon is made of a material of surface tension S…

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A balloon is made of a material of surface tension S and its inflation outlet (from where gas is filled in it) has small area A. It is filled with a gas of density $\rho$ and takes a spherical shape of radius R. When the gas is allowed to flow freely out of it, its radius r changes from R to 0 (zero) in time T. If the speed $v(r)$ of gas coming out of the balloon depends on r as $r^{a}$, and $T \propto S^{\alpha}A^{\beta}\rho^{\gamma}R^{\delta}$ then

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$a=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=1, \delta=\frac{3}{2}$
$a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=-\frac{1}{2}, \delta=\frac{5}{2}$
$a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$
$a=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{1}{2}, \beta=-\frac{1}{2}, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$

Question & Answer (English)

$a=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=1, \delta=\frac{3}{2}$
$a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=-\frac{1}{2}, \delta=\frac{5}{2}$
$a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$ — Correct Answer
$a=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{1}{2}, \beta=-\frac{1}{2}, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$

Explanation:

Root Concept / Basics: Excess pressure and fluid dynamics (Bernoulli's principle). The excess pressure driving the gas out is $\Delta P = \frac{4S}{r}$ (or $2S/r$, the dependencies remain same). By Bernoulli's principle, the exit speed is $v = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}$. The rate of volume decrease is linked to the outflow: $-\frac{dV}{dt} = A \cdot v$.

Correct Answer: $a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$

Step I: Determine the exit speed $v(r)$. Excess pressure $\Delta P \propto \frac{S}{r}$. Using $v = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}} \propto \sqrt{\frac{S}{\rho r}} = \left(\frac{S}{\rho}\right)^{1/2} r^{-1/2}$. This means $v(r) \propto r^{-1/2}$, giving $a = -1/2$.
Step II: Use the continuity equation for volume flow rate. The rate of volume change is $\frac{dV}{dt} = -A \cdot v$. Since $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, we have $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
Step III: Equate the two rate expressions: $4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \propto -A \left(\frac{S}{\rho}\right)^{1/2} r^{-1/2}$.
Step IV: Separate variables to integrate: $r^{2 - (-1/2)} dr \propto -A \left(\frac{S}{\rho}\right)^{1/2} dt \implies r^{5/2} dr \propto -A S^{1/2} \rho^{-1/2} dt$.
Step V: Integrate $r$ from $R$ to $0$ and $t$ from $0$ to $T$: $\int_R^0 r^{5/2} dr \propto \int_0^T -A S^{1/2} \rho^{-1/2} dt$. This gives $R^{7/2} \propto A S^{1/2} \rho^{-1/2} T$.
Step VI: Rearrange to solve for $T$: $T \propto S^{-1/2} A^{-1} \rho^{1/2} R^{7/2}$. Therefore, $\alpha = -1/2$, $\beta = -1$, $\gamma = 1/2$, and $\delta = 7/2$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

एक गुब्बारा सतह तनाव S की सामग्री से बना है और इसके मुद्रास्फीति आउटलेट (जहाँ से इसमें गैस भरी जाती है) का क्षेत्रफल A छोटा है। यह घनत्व $\rho$ वाली गैस से भरा है और त्रिज्या R का गोलाकार आकार लेता है। जब गैस को इससे स्वतंत्र रूप से बाहर निकलने दिया जाता है, तो इसकी त्रिज्या r समय T में R से 0 (शून्य) में बदल जाती है। यदि गुब्बारे से बाहर आने वाली गैस की गति $v(r)$, r पर $r^{a}$ के रूप में निर्भर करती है, और $T \propto S^{\alpha}A^{\beta}\rho^{\gamma}R^{\delta}$ तो

$a=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=1, \delta=\frac{3}{2}$
$a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=-\frac{1}{2}, \delta=\frac{5}{2}$
$a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$ — सही उत्तर
$a=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{1}{2}, \beta=-\frac{1}{2}, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$

स्पष्टीकरण:

मूल अवधारणा (Root Concept): अतिरिक्त दबाव और द्रव गतिकी (Bernoulli's principle)। गैस को बाहर निकालने वाला अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4S}{r}$ (या $2S/r$, निर्भरताएँ समान रहती हैं) है। बर्नौली के सिद्धांत द्वारा, निकास गति $v = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}$ है। आयतन में कमी की दर बहिर्वाह (outflow) से जुड़ी है: $-\frac{dV}{dt} = A \cdot v$।

सही उत्तर: $a=-\frac{1}{2}, \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1, \gamma=\frac{1}{2}, \delta=\frac{7}{2}$

Step I: निकास गति $v(r)$ निर्धारित करें। अतिरिक्त दबाव $\Delta P \propto \frac{S}{r}$। $v = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}} \propto \sqrt{\frac{S}{\rho r}} = \left(\frac{S}{\rho}\right)^{1/2} r^{-1/2}$ का उपयोग करने पर। इसका अर्थ है $v(r) \propto r^{-1/2}$, जिससे $a = -1/2$ प्राप्त होता है।
Step II: आयतन प्रवाह दर के लिए निरंतरता समीकरण (continuity equation) का उपयोग करें। आयतन परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -A \cdot v$ है। चूँकि $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है, हमारे पास $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$।
Step III: दोनों दर व्यंजकों को समान करें: $4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \propto -A \left(\frac{S}{\rho}\right)^{1/2} r^{-1/2}$।
Step IV: समाकलन के लिए चरों को अलग करें: $r^{2 - (-1/2)} dr \propto -A \left(\frac{S}{\rho}\right)^{1/2} dt \implies r^{5/2} dr \propto -A S^{1/2} \rho^{-1/2} dt$।
Step V: r को R से 0 तक और t को 0 से T तक समाकलित करें: $\int_R^0 r^{5/2} dr \propto \int_0^T -A S^{1/2} \rho^{-1/2} dt$। यह $R^{7/2} \propto A S^{1/2} \rho^{-1/2} T$ देता है।
Step VI: T के लिए हल करने हेतु पुनर्व्यवस्थित करें: $T \propto S^{-1/2} A^{-1} \rho^{1/2} R^{7/2}$। इसलिए, $\alpha = -1/2$, $\beta = -1$, $\gamma = 1/2$, और $\delta = 7/2$ है।

Question & Answer (English)

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

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