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A container has two chambers of volumes $V_{1}=2$ litres and…

Question
A container has two chambers of volumes $V_{1}=2$ litres and $V_{2}=3$ litres separated by a partition made of a thermal insulator. The chambers contain $n_{1}=5$ and $n_{2}=4$ moles of ideal gas at pressures $p_{1}=1$ atm and $p_{2}=2$ atm, respectively. When the partition is removed, the mixture attains an equilibrium pressure of
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Question & Answer (English)

A container has two chambers of volumes $V_{1}=2$ litres and $V_{2}=3$ litres separated by a partition made of a thermal insulator. The chambers contain $n_{1}=5$ and $n_{2}=4$ moles of ideal gas at pressures $p_{1}=1$ atm and $p_{2}=2$ atm, respectively. When the partition is removed, the mixture attains an equilibrium pressure of
  1. 1.3 atm
  2. 1.6 atm — Correct Answer
  3. 1.4 atm
  4. 1.8 atm
Explanation:
Root Concept / Basics: Conservation of Internal Energy for ideal gases. When two isolated ideal gases mix without external work or heat transfer, the total internal energy of the system remains constant ($U = U_1 + U_2$). Since $U = \frac{f}{2}PV$, and the gases are assumed to have the same degrees of freedom, $P_f V_f = P_1 V_1 + P_2 V_2$.

Correct Answer: 1.6 atm

Step I: Write the equation for conservation of energy for the mixture: $U_{final} = U_1 + U_2$.
Step II: Express internal energy in terms of pressure and volume: $\frac{f}{2}P_f(V_1 + V_2) = \frac{f}{2}P_1 V_1 + \frac{f}{2}P_2 V_2$.
Step III: Simplify by canceling the common factor $\frac{f}{2}$: $P_f(V_1 + V_2) = P_1 V_1 + P_2 V_2$.
Step IV: Rearrange to find the final equilibrium pressure $P_f$: $P_f = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_1 + V_2}$.
Step V: Substitute the given values ($P_1 = 1$, $V_1 = 2$, $P_2 = 2$, $V_2 = 3$): $P_f = \frac{1(2) + 2(3)}{2 + 3}$.
Step VI: Calculate the final result: $P_f = \frac{2 + 6}{5} = \frac{8}{5} = 1.6~atm$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

एक कंटेनर में एक थर्मल इन्सुलेटर (thermal insulator) से बने विभाजन द्वारा अलग किए गए $V_{1}=2$ लीटर और $V_{2}=3$ लीटर आयतन के दो कक्ष हैं। कक्षों में क्रमशः $p_{1}=1$ atm और $p_{2}=2$ atm दबाव पर आदर्श गैस के $n_{1}=5$ और $n_{2}=4$ मोल हैं। जब विभाजन हटा दिया जाता है, तो मिश्रण का संतुलन दबाव कितना हो जाता है?
  1. 1.3 atm
  2. 1.6 atm — सही उत्तर
  3. 1.4 atm
  4. 1.8 atm
स्पष्टीकरण:
मूल अवधारणा (Root Concept): आदर्श गैसों के लिए आंतरिक ऊर्जा का संरक्षण। जब दो पृथक आदर्श गैसें बिना किसी बाहरी कार्य या ऊष्मा हस्तांतरण के मिलती हैं, तो सिस्टम की कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है ($U = U_1 + U_2$)। चूँकि $U = \frac{f}{2}PV$ है, और यह माना जाता है कि गैसों की स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) समान है, इसलिए $P_f V_f = P_1 V_1 + P_2 V_2$।

सही उत्तर: 1.6 atm

Step I: मिश्रण के लिए ऊर्जा संरक्षण का समीकरण लिखें: $U_{final} = U_1 + U_2$।
Step II: दबाव और आयतन के संदर्भ में आंतरिक ऊर्जा व्यक्त करें: $\frac{f}{2}P_f(V_1 + V_2) = \frac{f}{2}P_1 V_1 + \frac{f}{2}P_2 V_2$।
Step III: सामान्य कारक $\frac{f}{2}$ को रद्द करके सरल करें: $P_f(V_1 + V_2) = P_1 V_1 + P_2 V_2$।
Step IV: अंतिम संतुलन दबाव $P_f$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें: $P_f = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_1 + V_2}$।
Step V: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें ($P_1 = 1$, $V_1 = 2$, $P_2 = 2$, $V_2 = 3$): $P_f = \frac{1(2) + 2(3)}{2 + 3}$।
Step VI: अंतिम परिणाम की गणना करें: $P_f = \frac{2 + 6}{5} = \frac{8}{5} = 1.6~atm$।

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