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An electric dipole with dipole moment 5 x 10^-6 Cm is aligned…

Question
An electric dipole with dipole moment $5\times10^{-6}Cm$ is aligned with the direction of a uniform electric field of magnitude $4\times10^{5}N/C$. The dipole is then rotated through an angle of $60^{\circ}$ with respect to the electric field. The change in the potential energy of the dipole is:
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Question & Answer (English)

An electric dipole with dipole moment $5\times10^{-6}Cm$ is aligned with the direction of a uniform electric field of magnitude $4\times10^{5}N/C$. The dipole is then rotated through an angle of $60^{\circ}$ with respect to the electric field. The change in the potential energy of the dipole is:
  1. 0.8 J
  2. 1.0 J — Correct Answer
  3. 1.2 J
  4. 1.5 J
Explanation:
Root Concept / Basics: Potential energy of an electric dipole. The potential energy of a dipole with dipole moment $p$ in a uniform electric field $E$ is given by $U = -pE \cos \theta$, where $\theta$ is the angle between $p$ and $E$. The change in potential energy when rotated from $\theta_1$ to $\theta_2$ is $\Delta U = U_2 - U_1 = -pE(\cos \theta_2 - \cos \theta_1) = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.

Correct Answer: 1.0 J

Step I: Note the given parameters: Dipole moment $p = 5 \times 10^{-6}~C \cdot m$, Electric field $E = 4 \times 10^5~N/C$.
Step II: The dipole is initially aligned with the electric field. This means the initial angle $\theta_1 = 0^{\circ}$.
Step III: It is rotated through $60^{\circ}$. So, the final angle $\theta_2 = 60^{\circ}$.
Step IV: Apply the formula for change in potential energy: $\Delta U = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
Step V: Substitute the angles: $\Delta U = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = pE(1 - 0.5) = pE(0.5) = \frac{pE}{2}$.
Step VI: Plug in the values of $p$ and $E$: $\Delta U = \frac{(5 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^5)}{2}$.
Step VII: Calculate the final result: $\Delta U = \frac{20 \times 10^{-1}}{2} = 10 \times 10^{-1} = 1.0~J$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

द्विध्रुव आघूर्ण $5\times10^{-6}Cm$ वाला एक विद्युत द्विध्रुव परिमाण $4\times10^{5}N/C$ के एक समान विद्युत क्षेत्र की दिशा के साथ संरेखित है। फिर द्विध्रुव को विद्युत क्षेत्र के संबंध में $60^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है। द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा (potential energy) में परिवर्तन है:
  1. 0.8 J
  2. 1.0 J — सही उत्तर
  3. 1.2 J
  4. 1.5 J
स्पष्टीकरण:
मूल अवधारणा (Root Concept): विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) की स्थितिज ऊर्जा। एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव आघूर्ण $p$ वाले द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta$, $p$ और $E$ के बीच का कोण है। $\theta_1$ से $\theta_2$ तक घुमाए जाने पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1 = -pE(\cos \theta_2 - \cos \theta_1) = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ है।

सही उत्तर: 1.0 J

Step I: दिए गए मापदंडों को नोट करें: द्विध्रुव आघूर्ण $p = 5 \times 10^{-6}~C \cdot m$, विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^5~N/C$।
Step II: द्विध्रुव शुरू में विद्युत क्षेत्र के साथ संरेखित होता है। इसका अर्थ है प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$।
Step III: इसे $60^{\circ}$ से घुमाया जाता है। इसलिए, अंतिम कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$।
Step IV: स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के लिए सूत्र लागू करें: $\Delta U = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$।
Step V: कोणों को प्रतिस्थापित करें: $\Delta U = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = pE(1 - 0.5) = pE(0.5) = \frac{pE}{2}$।
Step VI: $p$ और $E$ के मान रखें: $\Delta U = \frac{(5 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^5)}{2}$।
Step VII: अंतिम परिणाम की गणना करें: $\Delta U = \frac{20 \times 10^{-1}}{2} = 10 \times 10^{-1} = 1.0~J$।

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