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An electron (mass $9\times10^{-31}$ kg and charge $1.6\times10^{-19}C)$…

Question Question

An electron (mass $9\times10^{-31}$ kg and charge $1.6\times10^{-19}C)$ moving with speed $c/100$ ( $c=$ speed of light) is injected into a magnetic field $\overline{B}$ of magnitude $9\times10^{-4}T$ perpendicular to its direction of motion. We wish to apply an uniform electric field $\vec{E}$ together with the magnetic field so that the electron does not deflect from its path. Then (speed of light $c=3\times10^{8}ms^{-1})$

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$\overline{E}$ is perpendicular to $\vec{B}$ and its magnitude is $27\times10^{4}V~m^{-1}$
$\overline{E}$ is perpendicular to $\overline{B}$ and its magnitude is $27\times10^{2}Vm^{-1}$
E is parallel to B and its magnitude is $27\times10^{2}Vm^{-1}$
$\tilde{E}$ is parallel to $\overline{B}$ and its magnitude is $27\times10^{4}Vm^{-1}$

Question & Answer (English)

$\overline{E}$ is perpendicular to $\vec{B}$ and its magnitude is $27\times10^{4}V~m^{-1}$
$\overline{E}$ is perpendicular to $\overline{B}$ and its magnitude is $27\times10^{2}Vm^{-1}$ — Correct Answer
E is parallel to B and its magnitude is $27\times10^{2}Vm^{-1}$
$\tilde{E}$ is parallel to $\overline{B}$ and its magnitude is $27\times10^{4}Vm^{-1}$

Explanation:

Root Concept / Basics: Velocity selector principle (Lorentz Force). For a charged particle to pass undeflected through crossed electric and magnetic fields, the electric force must perfectly balance the magnetic force: $qE = qvB$, resulting in $E = vB$. The fields $\vec{E}$, $\vec{B}$, and velocity $\vec{v}$ must be mutually perpendicular.

Correct Answer: $\overline{E}$ is perpendicular to $\overline{B}$ and its magnitude is $27\times10^{2}Vm^{-1}$

Step I: Calculate the speed of the electron: $v = \frac{c}{100} = \frac{3 \times 10^8}{100} = 3 \times 10^6~m/s$.
Step II: Use the condition for no deflection: Electric force = Magnetic force $\implies qE = qvB \implies E = vB$.
Step III: Calculate the magnitude of the electric field: $E = (3 \times 10^6~m/s) \times (9 \times 10^{-4}~T) = 27 \times 10^2~V/m$.
Step IV: For the forces to oppose each other, the electric field $\vec{E}$ must be applied perpendicular to both the velocity $\vec{v}$ and the magnetic field $\vec{B}$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

$c/100$ ($c=$ प्रकाश की गति) की गति से चलने वाले एक इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान $9\times10^{-31}$ kg और आवेश $1.6\times10^{-19}C$) को उसकी गति की दिशा के लंबवत $9\times10^{-4}T$ परिमाण के चुंबकीय क्षेत्र $\overline{B}$ में इंजेक्ट किया जाता है। हम चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ लागू करना चाहते हैं ताकि इलेक्ट्रॉन अपने पथ से विचलित न हो। तब (प्रकाश की गति $c=3\times10^{8}ms^{-1}$)

$\overline{E}$, $\vec{B}$ के लंबवत है और इसका परिमाण $27\times10^{4}V~m^{-1}$ है
$\overline{E}$, $\overline{B}$ के लंबवत है और इसका परिमाण $27\times10^{2}Vm^{-1}$ है — सही उत्तर
E, B के समानांतर है और इसका परिमाण $27\times10^{2}Vm^{-1}$ है
$\tilde{E}$, $\overline{B}$ के समानांतर है और इसका परिमाण $27\times10^{4}Vm^{-1}$ है

स्पष्टीकरण:

मूल अवधारणा (Root Concept): वेग चयनकर्ता सिद्धांत (लॉरेंज बल)। एक आवेशित कण को पार किए गए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विचलित हुए गुजरने के लिए, विद्युत बल को चुंबकीय बल को पूरी तरह से संतुलित करना चाहिए: $qE = qvB$, जिसके परिणामस्वरूप $E = vB$ होता है। क्षेत्र $\vec{E}$, $\vec{B}$ और वेग $\vec{v}$ परस्पर लंबवत होने चाहिए।

सही उत्तर: $\overline{E}$, $\overline{B}$ के लंबवत है और इसका परिमाण $27\times10^{2}Vm^{-1}$ है

Step I: इलेक्ट्रॉन की गति की गणना करें: $v = \frac{c}{100} = \frac{3 \times 10^8}{100} = 3 \times 10^6~m/s$।
Step II: बिना किसी विचलन के लिए शर्त का उपयोग करें: विद्युत बल = चुंबकीय बल $\implies qE = qvB \implies E = vB$।
Step III: विद्युत क्षेत्र के परिमाण की गणना करें: $E = (3 \times 10^6~m/s) \times (9 \times 10^{-4}~T) = 27 \times 10^2~V/m$।
Step IV: बलों को एक दूसरे का विरोध करने के लिए, विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को वेग $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों के लंबवत लागू किया जाना चाहिए।

Question & Answer (English)

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

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