In an oscillating spring mass system, a spring is connected…

Question Question

In an oscillating spring mass system, a spring is connected to a box filled with sand. As the box oscillates, sand leaks slowly out of the box vertically so that the average frequency $\omega(t)$ and average amplitude $A(t)$ of the system change with time t. Which one of the following options schematically depicts these changes correctly?

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Question & Answer (English)

— Correct Answer

Explanation:

Root Concept / Basics: Damped harmonic motion with varying mass. The angular frequency is $\omega = \sqrt{k/m}$. As sand leaks, the mass $m$ decreases, causing $\omega$ to increase. Since the sand leaves with the box's horizontal velocity, it carries kinetic energy away without exerting restoring thrust. The overall mechanical energy $E$ decreases, and since $E = \frac{1}{2}kA^2$, the amplitude $A$ also decreases over time.

Correct Answer: $\omega(t)$ increases, $A(t)$ decreases

Step I: Analyze the angular frequency. The formula is $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$. As sand leaks, the total mass $m$ of the oscillating system decreases. A smaller $m$ leads to a larger $\omega$. Thus, $\omega(t)$ increases.
Step II: Analyze the energy of the system. The sand drops vertically, taking its kinetic energy with it. It does not provide any restoring force or thrust to the box. Thus, the total energy of the oscillating system decreases.
Step III: The total energy is also given by $E = \frac{1}{2} k A^2$, where $k$ is the constant spring stiffness. Since $E$ decreases and $k$ is constant, the amplitude $A(t)$ must decrease.
Step IV: Combining both observations, the graph should show an upward curve for $\omega(t)$ and a downward curve for $A(t)$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

एक दोलन करने वाले स्प्रिंग मास सिस्टम में, एक स्प्रिंग रेत से भरे एक बॉक्स से जुड़ा हुआ है। जैसे-जैसे बॉक्स दोलन करता है, रेत धीरे-धीरे बॉक्स से लंबवत रूप से बाहर निकलती है जिससे सिस्टम की औसत आवृत्ति $\omega(t)$ और औसत आयाम $A(t)$ समय t के साथ बदल जाते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प योजनाबद्ध रूप से इन परिवर्तनों को सही ढंग से दर्शाता है?

— सही उत्तर

स्पष्टीकरण:

मूल अवधारणा (Root Concept): परिवर्तनशील द्रव्यमान के साथ अवमंदित आवर्त गति (Damped harmonic motion)। कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ है। जैसे-जैसे रेत निकलती है, द्रव्यमान $m$ कम हो जाता है, जिससे $\omega$ बढ़ जाता है। चूंकि रेत बॉक्स के क्षैतिज वेग के साथ निकलती है, इसलिए यह बिना प्रत्यानयन बल (restoring thrust) लगाए गतिज ऊर्जा को अपने साथ ले जाती है। कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ कम हो जाती है, और चूंकि $E = \frac{1}{2}kA^2$ है, इसलिए समय के साथ आयाम $A$ भी कम हो जाता है।

सही उत्तर: $\omega(t)$ बढ़ता है, $A(t)$ घटता है

Step I: कोणीय आवृत्ति का विश्लेषण करें। सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है। जैसे-जैसे रेत निकलती है, दोलन करने वाले तंत्र का कुल द्रव्यमान $m$ कम हो जाता है। छोटे $m$ से $\omega$ बड़ा हो जाता है। इस प्रकार, $\omega(t)$ बढ़ता है।
Step II: तंत्र की ऊर्जा का विश्लेषण करें। रेत अपनी गतिज ऊर्जा को अपने साथ ले जाते हुए लंबवत रूप से गिरती है। यह बॉक्स को कोई प्रत्यानयन बल (restoring force) या जोर प्रदान नहीं करता है। इस प्रकार, दोलन तंत्र की कुल ऊर्जा कम हो जाती है।
Step III: कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा भी दी जाती है, जहाँ $k$ स्थिर स्प्रिंग स्थिरांक है। चूँकि $E$ घटता है और $k$ स्थिर है, आयाम $A(t)$ अवश्य ही कम होना चाहिए।
Step IV: दोनों अवलोकनों को मिलाकर, ग्राफ़ को $\omega(t)$ के लिए ऊपर की ओर और $A(t)$ के लिए नीचे की ओर वक्र दिखाना चाहिए।

Question & Answer (English)

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

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