Two identical point masses P and Q, suspended from two separate…

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Two identical point masses P and Q, suspended from two separate massless springs of spring constants $k_{1}$ and $k_{2}$, respectively, oscillate vertically. If their maximum speeds are the same, the ratio $(A_{Q}/A_{P})$ of the amplitude $A_{Q}$ of mass Q to the amplitude $A_{P}$ of mass P is

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$\frac{k_{2}}{k_{1}}$
$\frac{k_{1}}{k_{2}}$
$\sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}}$
$\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}$

Question & Answer (English)

$\frac{k_{2}}{k_{1}}$
$\frac{k_{1}}{k_{2}}$
$\sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}}$
$\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}$ — Correct Answer

Explanation:

Root Concept / Basics: Simple Harmonic Motion (SHM). In SHM, the maximum speed of an oscillating object is given by $v_{max} = A\omega$, where $A$ is the amplitude and $\omega$ is the angular frequency. The angular frequency for a spring-mass system is $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, where $k$ is the spring constant and $m$ is the mass.

Correct Answer: $\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}$

Step I: Write the expression for the maximum speed of mass P: $v_{max,P} = A_P \omega_P = A_P \sqrt{\frac{k_1}{m}}$.
Step II: Write the expression for the maximum speed of mass Q: $v_{max,Q} = A_Q \omega_Q = A_Q \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
Step III: We are given that their maximum speeds are the same: $v_{max,P} = v_{max,Q}$.
Step IV: Equate the expressions: $A_P \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_Q \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
Step V: The mass $m$ is identical for both and cancels out: $A_P \sqrt{k_1} = A_Q \sqrt{k_2}$.
Step VI: Rearrange to find the ratio $\frac{A_Q}{A_P}$: $\frac{A_Q}{A_P} = \frac{\sqrt{k_1}}{\sqrt{k_2}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$.

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

दो समान बिंदु द्रव्यमान P और Q, जो क्रमशः $k_{1}$ और $k_{2}$ स्प्रिंग स्थिरांक (spring constants) वाले दो अलग-अलग द्रव्यमान रहित स्प्रिंग्स से लटके हुए हैं, लंबवत दोलन करते हैं। यदि उनकी अधिकतम गति समान है, तो द्रव्यमान Q के आयाम $A_{Q}$ और द्रव्यमान P के आयाम $A_{P}$ का अनुपात $(A_{Q}/A_{P})$ है

$\frac{k_{2}}{k_{1}}$
$\frac{k_{1}}{k_{2}}$
$\sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}}$
$\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}$ — सही उत्तर

स्पष्टीकरण:

मूल अवधारणा (Root Concept): सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion - SHM)। SHM में, दोलन करने वाली वस्तु की अधिकतम गति $v_{max} = A\omega$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है। स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है, जहाँ $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है और $m$ द्रव्यमान है।

सही उत्तर: $\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}$

Step I: द्रव्यमान P की अधिकतम गति के लिए व्यंजक लिखें: $v_{max,P} = A_P \omega_P = A_P \sqrt{\frac{k_1}{m}}$।
Step II: द्रव्यमान Q की अधिकतम गति के लिए व्यंजक लिखें: $v_{max,Q} = A_Q \omega_Q = A_Q \sqrt{\frac{k_2}{m}}$।
Step III: हमें दिया गया है कि उनकी अधिकतम गति समान है: $v_{max,P} = v_{max,Q}$।
Step IV: व्यंजकों को बराबर करें: $A_P \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_Q \sqrt{\frac{k_2}{m}}$।
Step V: द्रव्यमान $m$ दोनों के लिए समान है और रद्द हो जाता है: $A_P \sqrt{k_1} = A_Q \sqrt{k_2}$।
Step VI: अनुपात $\frac{A_Q}{A_P}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें: $\frac{A_Q}{A_P} = \frac{\sqrt{k_1}}{\sqrt{k_2}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$।

Question & Answer (English)

प्रश्न एवं उत्तर (हिंदी)

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